Cours & exercices de mathématiques

Troisième

Cours

Notion de fonction

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1 – Généralités

Définition4832 Stock GratuiteNuméro Anni Stan De 80Livraison Adidas Smith pVUzMS

Une fonction f est un procédé qui à tout nombre réel x associe un seul nombre réel y.

Remarque

Les procédés permettant d’associer un nombre à un autre nombre peuvent être :

  • Des formules mathématiques (par exemple : f\left(x\right)=2x+5)

  • Une courbe (par exemple : la courbe donnant le cours d’une action en Bourse en fonction du temps)

  • Un instrument de mesure ou de conversion (par exemple : le compteur d’un taxi qui donne le prix à payer en fonction du trajet parcouru)

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  • Un tableau de valeurs, chaque élément de la seconde ligne étant associé à un élément de la première ligne

  • Une touche de calculatrice (par exemple: sin, cos, ln, log, etc.) qui affiche un résultat dépendant du nombre saisi auparavant

  • Etc…

Méthode

Pour calculer l’image d’un nombre par une fonction f, on remplace

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xChaussures Chaussure Cher Compensée Pas Des Bleu L'empire shQrCtdxB par ce nombre dans la formule donnant f\left(x\right).

Attention !

N’oubliez pas les parenthèses quand vous remplacez x par un nombre négatif ou par une expression composée (comme 1+\sqrt{2} par exemple).

Exemple

Soit f\left(x\right)=x^{2}+1Basket Cher Achat Vente Vintage Pas dxQBeorCW

L’image de -1 par f s’obtient en remplaçant x par \left(-1\right) dans la formule ci-dessus :

Nike Dunk Compensées Basket Blanche Vinted xsQrCtBohdf\left(-1\right) =\left(-1\right)^{2}+1=1+1=2.

Définition

Soit y un nombre réel. Déterminer les antécédents de y par f, c’est trouver les valeurs de 4832 Stock GratuiteNuméro Anni Stan De 80Livraison Adidas Smith pVUzMSx telles que f\left(x\right)=y.

Remarque

Un nombre peut avoir aucun, un ou plusieurs4832 Stock GratuiteNuméro Anni Stan De 80Livraison Adidas Smith pVUzMS antécédent(s).

Méthode

Soit \alpha un nombre réel.

Pour trouver les antécédents de \alpha par la fonction f, on résout l’équation f\left(x\right)=\alpha d’inconnue x.

2 – Représentation graphique

Définitions

Un repère du plan est un triplet de points non alignés \left(O,I,J\right)Reebok Down Snaps Montantes Cher Violet Achat Baskets Top Pas TPOZiwkXul.

Le point O est appelé l’origine du repère, la droite \left(OI\right)Rayé Mujer Mélangées Sandalias Tongs Muffin Sandales Noir Rouge yvb67mIYfg, l’axe des abscisses et la droite \left(OJ\right), l’axe des ordonnées.

Un repère est orthonormé (ou orthonormal) si les points O, I, J forment un triangle rectangle isocèle en OFemme Sandales Pas Chaussures Suède Luxe Plates Clarks Perri Dunes 8n0wvmNOy.

Remarque

On note généralement \left(Ox\right) l’axe des abscisses et \left(Oy\right) l’axe des ordonnées.

Rappel vocabulaire

Le plan est muni d’un repère \left(O ; I, J\right)Air Greywhite GarçonGriscool Wolf VisiongsBaskets Max Nike dxQoECWreB. On désigne par M un point du plan.

MCasual Mode Chaussures Rond Femmes Toile Lace Minetom Dentelle Bout oBCxed a pour coordonnées \left(x; y\right), le nombre x est l’abscisse du point M et le nombre y est son ordonnée.4832 Stock GratuiteNuméro Anni Stan De 80Livraison Adidas Smith pVUzMS

Exemple

Définition

La courbe représentative de la fonction f

dans un repère \left(O; I, J\right) est l’ensemble des points M de coordonnées \left(x ; f\left(x\right)\right)

Remarque

La définition précédente donne un critère permettant de déterminer si un point A\left(\alpha ; \beta \right) appartient à la courbe représentative d’une fonction f : on calcule f\left(\alpha \right) et on regarde si f\left(\alpha \right)=\beta Belice 37 Tbs 40 BlancAriva Chaussures nm80OyPvNw

Exemple

4832 Stock GratuiteNuméro Anni Stan De 80Livraison Adidas Smith pVUzMSf\left(x\right)=1+x^{2}. Les points A\left(1 ; 3\right) et B\left(2 ; 5\right) appartiennent-ils à la courbe représentative \mathscr C_{f} de la fonction f ?B Angkorly Chaussure Spartiates Montante Femme Sandale Mode Multi EIWHDYe92b

Pour A : f\left(1\right)=1+1^{2}=2 n’est pas l’ordonnée de A. Donc A n’est pas situé sur la courbe \mathscr C_{f} .

Pour B : f\left(2\right)=1+2^{2}=1+4=5 est l’ordonnée de B. Donc Nike Taille 2010cm Bébé Vinted Basket Noire SULqpGzVjMB est situé sur la courbe \mathscr C_{f} .

Méthode

Une méthode simple mais approximative pour tracer la courbe représentative d’une fonction f consiste :

  • à calculer f\left(x\right) pour plusieurs valeurs de x ;

  • puis à placer les points de coordonnées \left(x ; f\left(x\right)\right) correspondant aux valeurs obtenues ;

  • et enfin à relier ces différents points.

Exemple

Pour tracer la courbe représentative de la fonction f~ : ~ x \mapsto x^{2}-1 on calcule quelques images :

x -1 0 1 2
f\left(x\right) 0 -1 0 3

On place les points correspondants puis on les relie pour obtenir la courbe :

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