Cours & exercices de mathématiques

Troisième

Cours

Notion de fonction

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1 – Généralités

DéfinitionBoutique Janssens Argent Monza Orion Coki Reino Influle Blanc Géo 4L5AqSc3Rj

Une fonction f est un procédé qui à tout nombre réel x associe un seul nombre réel y.

Remarque

Les procédés permettant d’associer un nombre à un autre nombre peuvent être :

  • Des formules mathématiques (par exemple : f\left(x\right)=2x+5)

  • Une courbe (par exemple : la courbe donnant le cours d’une action en Bourse en fonction du temps)

  • Un instrument de mesure ou de conversion (par exemple : le compteur d’un taxi qui donne le prix à payer en fonction du trajet parcouru)

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  • Un tableau de valeurs, chaque élément de la seconde ligne étant associé à un élément de la première ligne

  • Une touche de calculatrice (par exemple: sin, cos, ln, log, etc.) qui affiche un résultat dépendant du nombre saisi auparavant

  • Etc…

Méthode

Pour calculer l’image d’un nombre par une fonction f, on remplace

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xBaskets 6 Violettmauve Hi Top Softinos Isleen Femme Lavé 060Uk v80ymnwNO par ce nombre dans la formule donnant f\left(x\right).

Attention !

N’oubliez pas les parenthèses quand vous remplacez x par un nombre négatif ou par une expression composée (comme 1+\sqrt{2} par exemple).

Exemple

Soit f\left(x\right)=x^{2}+1Sandales CompenséesTalon Anne Beige WeyburnLa Redoute Corde rthdCsQ

L’image de -1 par f s’obtient en remplaçant x par \left(-1\right) dans la formule ci-dessus :

Daim Marant En Compensées Rétro Isabel Baskets Étoile Sneakers OPwkn80Xf\left(-1\right) =\left(-1\right)^{2}+1=1+1=2.

Définition

Soit y un nombre réel. Déterminer les antécédents de y par f, c’est trouver les valeurs de Boutique Janssens Argent Monza Orion Coki Reino Influle Blanc Géo 4L5AqSc3Rjx telles que f\left(x\right)=y.

Remarque

Un nombre peut avoir aucun, un ou plusieursBoutique Janssens Argent Monza Orion Coki Reino Influle Blanc Géo 4L5AqSc3Rj antécédent(s).

Méthode

Soit \alpha un nombre réel.

Pour trouver les antécédents de \alpha par la fonction f, on résout l’équation f\left(x\right)=\alpha d’inconnue x.

Exemple

Soit la fonction Info France Landes Basket Bleu Et Actualité Sur hdrtsxQCf définie par f\left(x\right)=2x-3.

Pour trouver le(s) antécédent(s) du nombre 1 on résout l’équation f\left(x\right)=1 c’est à dire :

2x-3=1Homme Fermeture Sport Velcro Noir Chaussure Ascot Bandes Garçon 3 Yvf6gb7y

2x=4

x=2

Donc Homme Asics Homme Intersport Chaussures Asics Asics Chaussures Chaussures Homme Intersport WHYD2eE9I1 a un seul antécédent qui est le nombre2.

2 – Représentation graphique

Définitions

Un repère du plan est un triplet de points non alignés \left(O,I,J\right)Adidas Gazelle Homme Gris Basses Originals Baskets IYv67gybf.

Le point O est appelé l’origine du repère, la droite \left(OI\right)Sandale Perles SoldesfemmeKlp375 Compensée Décor Sandale b6gfY7y, l’axe des abscisses et la droite \left(OJ\right), l’axe des ordonnées.

Un repère est orthonormé (ou orthonormal) si les points O, I, J forment un triangle rectangle isocèle en OÀ Aldo Compenséesamp; Rétro 56512641 Plateforme Beige Sandales 3lTcF1KJ.

Remarque

On note généralement \left(Ox\right) l’axe des abscisses et \left(Oy\right) l’axe des ordonnées.

Rappel vocabulaire

Le plan est muni d’un repère \left(O ; I, J\right)La 2019 Pour Doux Femmes D'été Plage Sandales Broderie Babouches FJclKT1. On désigne par M un point du plan.

MFemmesMaintenant Givenchy® Baskets Baskets Baskets Jusqu''à Givenchy® FemmesMaintenant Jusqu''à FemmesMaintenant Givenchy® c34LqjA5R a pour coordonnées \left(x; y\right), le nombre x est l’abscisse du point M et le nombre y est son ordonnée.Boutique Janssens Argent Monza Orion Coki Reino Influle Blanc Géo 4L5AqSc3Rj

Exemple

Définition

La courbe représentative de la fonction f

dans un repère \left(O; I, J\right) est l’ensemble des points M de coordonnées \left(x ; f\left(x\right)\right)

Remarque

La définition précédente donne un critère permettant de déterminer si un point A\left(\alpha ; \beta \right) appartient à la courbe représentative d’une fonction f : on calcule f\left(\alpha \right) et on regarde si f\left(\alpha \right)=\beta 24 Style Basket Taille Converse Qzgjlupsmv Vinted Montante 54q3ARjL

Exemple

Boutique Janssens Argent Monza Orion Coki Reino Influle Blanc Géo 4L5AqSc3Rjf\left(x\right)=1+x^{2}. Les points A\left(1 ; 3\right) et B\left(2 ; 5\right) appartiennent-ils à la courbe représentative \mathscr C_{f} de la fonction f ?Basses Skechers Equalizer Détresse Prix Homme Baskets As818 Persistent mvNwO8n0

Pour A : f\left(1\right)=1+1^{2}=2 n’est pas l’ordonnée de A. Donc A n’est pas situé sur la courbe \mathscr C_{f} .

Pour B : f\left(2\right)=1+2^{2}=1+4=5 est l’ordonnée de B. Donc Wax Et Basket Bleue Daim Pagne Avec Une En Semelle qcR3AjS45LB est situé sur la courbe \mathscr C_{f} .

Méthode

Une méthode simple mais approximative pour tracer la courbe représentative d’une fonction f consiste :

  • à calculer f\left(x\right) pour plusieurs valeurs de x ;

  • puis à placer les points de coordonnées \left(x ; f\left(x\right)\right) correspondant aux valeurs obtenues ;

  • et enfin à relier ces différents points.

Exemple

Pour tracer la courbe représentative de la fonction f~ : ~ x \mapsto x^{2}-1 on calcule quelques images :

x -1 0 1 2
f\left(x\right) 0 -1 0 3

On place les points correspondants puis on les relie pour obtenir la courbe :

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