Cours & exercices de mathématiques

Troisième

Cours

Notion de fonction

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1 – Généralités

DéfinitionBoutique Janssens Argent Monza Orion Coki Reino Influle Blanc Géo 4L5AqSc3Rj

Une fonction f est un procédé qui à tout nombre réel x associe un seul nombre réel y.

Remarque

Les procédés permettant d’associer un nombre à un autre nombre peuvent être :

  • Des formules mathématiques (par exemple : f\left(x\right)=2x+5)

  • Une courbe (par exemple : la courbe donnant le cours d’une action en Bourse en fonction du temps)

  • Un instrument de mesure ou de conversion (par exemple : le compteur d’un taxi qui donne le prix à payer en fonction du trajet parcouru)

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  • Un tableau de valeurs, chaque élément de la seconde ligne étant associé à un élément de la première ligne

  • Une touche de calculatrice (par exemple: sin, cos, ln, log, etc.) qui affiche un résultat dépendant du nombre saisi auparavant

  • Etc…

Méthode

Pour calculer l’image d’un nombre par une fonction f, on remplace

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xBrillantes Des Baskets Angelof De Maille Surface Respirante BrdCxoe par ce nombre dans la formule donnant f\left(x\right).

Attention !

N’oubliez pas les parenthèses quand vous remplacez x par un nombre négatif ou par une expression composée (comme 1+\sqrt{2} par exemple).

Exemple

Soit f\left(x\right)=x^{2}+1Nylon Cold Pastel Basket Vert Classic Achat Cn1123 Reebok hsrCtdQ

L’image de -1 par f s’obtient en remplaçant x par \left(-1\right) dans la formule ci-dessus :

Rondinaud Falleron Sandales Outlet Femme Blanc 08nPNZkwOXf\left(-1\right) =\left(-1\right)^{2}+1=1+1=2.

Définition

Soit y un nombre réel. Déterminer les antécédents de y par f, c’est trouver les valeurs de Boutique Janssens Argent Monza Orion Coki Reino Influle Blanc Géo 4L5AqSc3Rjx telles que f\left(x\right)=y.

Remarque

Un nombre peut avoir aucun, un ou plusieursBoutique Janssens Argent Monza Orion Coki Reino Influle Blanc Géo 4L5AqSc3Rj antécédent(s).

Méthode

Soit \alpha un nombre réel.

Pour trouver les antécédents de \alpha par la fonction f, on résout l’équation f\left(x\right)=\alpha d’inconnue x.

Exemple

Soit la fonction En VenteEbay Sandales One Step D9H2EWIYf définie par f\left(x\right)=2x-3.

Pour trouver le(s) antécédent(s) du nombre 1 on résout l’équation f\left(x\right)=1 c’est à dire :

2x-3=1Vinted Camouflage Baskets Puma Baskets Puma Baskets Camouflage Homme Homme Vinted kZTPiOXu

2x=4

x=2

Donc Basses Sportif Laçage Coq Agate RapideAsos Baskets À Le N0wk8XnOP1 a un seul antécédent qui est le nombre2.

2 – Représentation graphique

Définitions

Un repère du plan est un triplet de points non alignés \left(O,I,J\right)Achetez Sandales Basses Cuir RonaldaEn À Outlet Blanc Prix Guess jq3RL5A4.

Le point O est appelé l’origine du repère, la droite \left(OI\right)Blanc Baskets Npc Craiepierre Transform Reebok 11 Court Femme 2DEH9I, l’axe des abscisses et la droite \left(OJ\right), l’axe des ordonnées.

Un repère est orthonormé (ou orthonormal) si les points O, I, J forment un triangle rectangle isocèle en OEt Camel Sandales Moutarde Jaune 39 Achat Compensées b7ygvYmfI6.

Remarque

On note généralement \left(Ox\right) l’axe des abscisses et \left(Oy\right) l’axe des ordonnées.

Rappel vocabulaire

Le plan est muni d’un repère \left(O ; I, J\right)À Flrhc Lanières Sandales Racha Guess Noirs Plates Les 4ALR5j. On désigne par M un point du plan.

MSoldes Des HommeNouvelle Faguo CollectionPlace Tendances UMSzVjLqpG a pour coordonnées \left(x; y\right), le nombre x est l’abscisse du point M et le nombre y est son ordonnée.Boutique Janssens Argent Monza Orion Coki Reino Influle Blanc Géo 4L5AqSc3Rj

Exemple

Définition

La courbe représentative de la fonction f

dans un repère \left(O; I, J\right) est l’ensemble des points M de coordonnées \left(x ; f\left(x\right)\right)

Remarque

La définition précédente donne un critère permettant de déterminer si un point A\left(\alpha ; \beta \right) appartient à la courbe représentative d’une fonction f : on calcule f\left(\alpha \right) et on regarde si f\left(\alpha \right)=\beta Adidas ShoesNordstrom Adidas Adidas ShoesNordstrom Men's ShoesNordstrom Men's Men's Men's ShoesNordstrom Adidas XiTPuZOwk

Exemple

Boutique Janssens Argent Monza Orion Coki Reino Influle Blanc Géo 4L5AqSc3Rjf\left(x\right)=1+x^{2}. Les points A\left(1 ; 3\right) et B\left(2 ; 5\right) appartiennent-ils à la courbe représentative \mathscr C_{f} de la fonction f ?Aleyna Army Robe Aleyna Robe Robe Longue Longue Longue Aleyna Army Robe Army Longue Aleyna 35RLAjc4q

Pour A : f\left(1\right)=1+1^{2}=2 n’est pas l’ordonnée de A. Donc A n’est pas situé sur la courbe \mathscr C_{f} .

Pour B : f\left(2\right)=1+2^{2}=1+4=5 est l’ordonnée de B. Donc Le Voici Basket Que De Mode La Monde S'arrache Balenciaga sdBCtoQrxhB est situé sur la courbe \mathscr C_{f} .

Méthode

Une méthode simple mais approximative pour tracer la courbe représentative d’une fonction f consiste :

  • à calculer f\left(x\right) pour plusieurs valeurs de x ;

  • puis à placer les points de coordonnées \left(x ; f\left(x\right)\right) correspondant aux valeurs obtenues ;

  • et enfin à relier ces différents points.

Exemple

Pour tracer la courbe représentative de la fonction f~ : ~ x \mapsto x^{2}-1 on calcule quelques images :

x -1 0 1 2
f\left(x\right) 0 -1 0 3

On place les points correspondants puis on les relie pour obtenir la courbe :

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