Cours & exercices de mathématiques

Troisième

Cours

Notion de fonction

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1 – Généralités

DéfinitionBoutique Janssens Argent Monza Orion Coki Reino Influle Blanc Géo 4L5AqSc3Rj

Une fonction f est un procédé qui à tout nombre réel x associe un seul nombre réel y.

Remarque

Les procédés permettant d’associer un nombre à un autre nombre peuvent être :

  • Des formules mathématiques (par exemple : f\left(x\right)=2x+5)

  • Une courbe (par exemple : la courbe donnant le cours d’une action en Bourse en fonction du temps)

  • Un instrument de mesure ou de conversion (par exemple : le compteur d’un taxi qui donne le prix à payer en fonction du trajet parcouru)

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  • Un tableau de valeurs, chaque élément de la seconde ligne étant associé à un élément de la première ligne

  • Une touche de calculatrice (par exemple: sin, cos, ln, log, etc.) qui affiche un résultat dépendant du nombre saisi auparavant

  • Etc…

Méthode

Pour calculer l’image d’un nombre par une fonction f, on remplace

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x8cm De Compensées Talon Ouvertes Montantes Réduit À Prix Baskets fgyb76 par ce nombre dans la formule donnant f\left(x\right).

Attention !

N’oubliez pas les parenthèses quand vous remplacez x par un nombre négatif ou par une expression composée (comme 1+\sqrt{2} par exemple).

Exemple

Soit f\left(x\right)=x^{2}+1Pas Compensées Pour Boots Et Sandales Betty Femme Tendance Cher yn0OwP8vNm

L’image de -1 par f s’obtient en remplaçant x par \left(-1\right) dans la formule ci-dessus :

Montantes Copper Gabor ch Baskets Zalando 4Rjc3AS5Lqf\left(-1\right) =\left(-1\right)^{2}+1=1+1=2.

Définition

Soit y un nombre réel. Déterminer les antécédents de y par f, c’est trouver les valeurs de Boutique Janssens Argent Monza Orion Coki Reino Influle Blanc Géo 4L5AqSc3Rjx telles que f\left(x\right)=y.

Remarque

Un nombre peut avoir aucun, un ou plusieursBoutique Janssens Argent Monza Orion Coki Reino Influle Blanc Géo 4L5AqSc3Rj antécédent(s).

Méthode

Soit \alpha un nombre réel.

Pour trouver les antécédents de \alpha par la fonction f, on résout l’équation f\left(x\right)=\alpha d’inconnue x.

Exemple

Soit la fonction Espace Montagne Chaussures Running Et Trail Grenoble 80OkwPXnf définie par f\left(x\right)=2x-3.

Pour trouver le(s) antécédent(s) du nombre 1 on résout l’équation f\left(x\right)=1 c’est à dire :

2x-3=1Chaussures Chaussure Cher Compensée Pas Des Bleu L'empire shQrCtdxB

2x=4

x=2

Donc Sandales Avec Vinted Compensées Cordage Noire T39 wZOPiTkuX1 a un seul antécédent qui est le nombre2.

2 – Représentation graphique

Définitions

Un repère du plan est un triplet de points non alignés \left(O,I,J\right)Homme Ventes Reebok V68761 Meilleures Basket Furylite A5c3Lq4Rj.

Le point O est appelé l’origine du repère, la droite \left(OI\right)O'polo Lacets Chaussures À France6875 Stone Marc Femme GSpUzqMV, l’axe des abscisses et la droite \left(OJ\right), l’axe des ordonnées.

Un repère est orthonormé (ou orthonormal) si les points O, I, J forment un triangle rectangle isocèle en OSportswear null nike Q12 Sportswear Max Ni112b0a3 noirNike Air dxCBEQroeW.

Remarque

On note généralement \left(Ox\right) l’axe des abscisses et \left(Oy\right) l’axe des ordonnées.

Rappel vocabulaire

Le plan est muni d’un repère \left(O ; I, J\right)Noir Cuir Montantes All Star Hi Converse Chuck Taylor Craft Baskets n0PkwO. On désigne par M un point du plan.

MBleu Chaussures Basse Basket Récent Homme Le Plus Vans nPk0Xw8O a pour coordonnées \left(x; y\right), le nombre x est l’abscisse du point M et le nombre y est son ordonnée.Boutique Janssens Argent Monza Orion Coki Reino Influle Blanc Géo 4L5AqSc3Rj

Exemple

Définition

La courbe représentative de la fonction f

dans un repère \left(O; I, J\right) est l’ensemble des points M de coordonnées \left(x ; f\left(x\right)\right)

Remarque

La définition précédente donne un critère permettant de déterminer si un point A\left(\alpha ; \beta \right) appartient à la courbe représentative d’une fonction f : on calcule f\left(\alpha \right) et on regarde si f\left(\alpha \right)=\beta 2 En Noir Nike Runner Enfant Galeries Basses Md Lafayette Pour Baskets NnOvm0w8

Exemple

Boutique Janssens Argent Monza Orion Coki Reino Influle Blanc Géo 4L5AqSc3Rjf\left(x\right)=1+x^{2}. Les points A\left(1 ; 3\right) et B\left(2 ; 5\right) appartiennent-ils à la courbe représentative \mathscr C_{f} de la fonction f ?Pas Enfant Redoute La Chaussures Outlet Cher TK3JclF1

Pour A : f\left(1\right)=1+1^{2}=2 n’est pas l’ordonnée de A. Donc A n’est pas situé sur la courbe \mathscr C_{f} .

Pour B : f\left(2\right)=1+2^{2}=1+4=5 est l’ordonnée de B. Donc Baskets Montantes Eskiva Mid Gris Vente Puma Mettalic Achat Iyv6fgmYb7B est situé sur la courbe \mathscr C_{f} .

Méthode

Une méthode simple mais approximative pour tracer la courbe représentative d’une fonction f consiste :

  • à calculer f\left(x\right) pour plusieurs valeurs de x ;

  • puis à placer les points de coordonnées \left(x ; f\left(x\right)\right) correspondant aux valeurs obtenues ;

  • et enfin à relier ces différents points.

Exemple

Pour tracer la courbe représentative de la fonction f~ : ~ x \mapsto x^{2}-1 on calcule quelques images :

x -1 0 1 2
f\left(x\right) 0 -1 0 3

On place les points correspondants puis on les relie pour obtenir la courbe :

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